SCELTA DI PORTAFOGLI OBBLIGAZIONARI: IMMUNIZZAZIONE

 

Insieme ad un mio discente, per la preparazione dell'esame di matematica finanziaria, abbiamo affrontato i due seguenti esercizi sulle scelte di portafoglio, prestando attenzione soprattutto alla duration in maniera da immunizzare dai rischi di tasso.

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Bisogna innanzitutto accennare al Teorema di Fisher e Weil, relativamente ai vincoli di Bilancio e Duration:

  • Data una struttura per scadenza dei tassi, sia M un importo esigibile al tempo T e sia dato un flusso di riscossioni su uno scadenzario tale che T (*) V i M (cioè al tasso osservato le riscossioni permettono di pagare il debito o il valore attuale del flusso in entrata è uguale al valore attuale dell’uscita: VINCOLO DI BILANCIO.
  • Il portafoglio è IMMUNIZZATO se e solo se la duration del flusso delle entrate coincide col momento in cui si paga la somma M; da notare che tale condizione coincide col richiedere che la derivata prima della funzione del prezzo al tempo T rispetto al tasso sia nulla, quindi la somma necessaria è garantita anche a seguito di variazioni di tasso. Anzi se il tasso varia il portafoglio delle entrate avrà un maggior valore quindi si realizzerà un rendimento positivo: VINCOLO DI DURATION. 

 

Esercizio 1. Un investitore vuole costruire un portafoglio titoli in nlodo da immunizzare la somma di 3.000,00 euro fra 2 anni. Sul mercato sono disponibili uno zero coupon bond scadente fra un anno e un coupon bond scadente fra 3 anni, e che paga cedole annue pari a 10,00 euro. La struttura dei tassi è piatta al 7.5%.

1. Determinare la duration di ogni titolo.

2.  Deterninare la con1posizione del portafoglio, intesa come valore in euro dell'investimento nei singoli titoli. 

3.  Determinare, per ogni titolo, il numero di quote acquistate, e ilpeso percentuale del titolo nel portafoglio•       ZCB =

→ Duration = 1 * (1+0,075)^-1 / (1+0,075)^-1 = 1

→ Duration (2 anni) = 2 * (1+0,075)^-1 / (1+0,075)^-1 = 2

 

•       COUPON BOND =

→Duration =(10*1,075^-1*1+10*1,075^-2*2+3010*1,075^-3*3)/(10*1,075^-1+10*1,075^-2+3010*1,075^-3) = 2,98

→Duration (2anni) = (10*1,075^-1*1+1510*1,075^-2*2)/(10*1,075^-1+1510*1,075^-2) = 1,992931

 

 DURATION

•       La DURATION è la durata media finanziaria di un’operazione in strumenti obbligazionari.

•       Serve per valutare la rischiosità dello strumento rispetto alle variazioni di tasso del mercato

•       Più è lunga la DURATION e maggiore è il rischio: tra due strumenti obbligazionari, è da preferire quello con la durata media più bassa. Nel caso dei titoli in esame, lo ZCB con duration 1 a un anno sembrerebbe meno rischioso rispetto al COUPON BOND che ha duration 2,98 (calcolato convenzionalemte su euro 3.000,00.

•       Al momento T (2 anni) però i due strumenti hanno pressochè la stessa duration (ZCB = 1; COUPON BOND = 1,992931) quindi l’investimento nei singoli titoli potrà essere: ZCB euro 1500,00 e COUPON BOND 1500,00

 

Sia x1 la quota del primo titolo ed x2 quella del secondo allora il flusso delle entrate è il seguente: {(3000x1+10x2,10x2,3010x2);(1,2,3)} e il vincolo di bilancio è il seguente:

(3000x1+10x2)*1.075+10x2+3010x2*1.075^-1=3000   →  (*)

→ 3225x1+2820,75x2 = 3000

Per il vincolo di duration consideriamo la (*) e deriviamo rispetto al tasso considerando

(3000x1+10x2)-3010x2*1.075^-2=0

→ 3000x1-2594,65x2=0

 

Il sistema da risolvere è 2x2 ed il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero quindi si ha una sola soluzione

x1=0.4625 e x2=0.5348

Sono le quote da acquistare cioè 46.25 di 53.48 di valore nominale di ciascun titolo

 

        SISTEMA PER LA DETERMINAZIONE DELLE QUOTE:

·         3225x1+2820,75x2 = 3000

·         3000x1-2594,65x2=0

•       X1=0.4625

•       X2=0.5348

 

 

Esercizio  4 . Si consideri un 1nercato sul quale vengono quotat i i seguent i titoli:

 

       (a)     uno zero coupon bond a pront i, con vita resid ua 3 anni, e prezzo 90,00 euro;

(b)      uno zero coupon bond a termine, con prezzo di acquisto tra 2 anni par i a 94,00 euro e vita resid ua un anno;

(c)     un coup  bond  a pront i,  con  vita resid ua 3 anni,  cedola annuale,  tasso cedolare del  3,55%, e quotato alla pari.

1. Detenninar e la struttura a scadenza dei prezzi a pr onti.

2.     Dire se si preferisce, in tennini di tasso interno di rendùnento, l'acquisto del titolo (a) o del titolo (e).

3.      Determinare la duration del titolo (a) e del titolo (e).

4.     Dire se è possibile costruire un por tafoglio con i titoli (a) e (c) in modo da coprirsi dal rischio di tasso e immunizzare 2.000,00 euro tra un anno.

TASSO INTERNO DI RENDIMENTO

•       Titolo (a) = zero coupon bon a pronti, con vita residua 3 anni, e prezzo 90 euro

TIR = (VN/P)^1/t – 1 = (99,93/90)^1/3 – 1 = 3,55%

•       Titolo (c) = coupon bond a pronti, con vita residua 3 anni, cedola annuale, tasso cedolare del 3,55% e quotato alla pari

Calcolo cedola = 90 * 3,55% = 3,195

Prezzo = 3,195 * (1-1,0355^-3)/0,0355 + 90 *1,0355^-3 = 90

TIR = calcolato con la funzione finanziaria excel TIR.COST(x1:x3) = 3,55%

SI PREFERISCE  L’ACQUISTO  SIA DEL TITOLO (a) CHE DEL TITOLO (c)

Non essendo indicato un tasso di attualizzazione di mercato abbiamo utilizzato quello del tasso cedolare, mentre dato che il titolo (c) è quotato alla pari abbiamo utilizzato il prezzo del titolo di confronto (a).

 

STRUTTURA PREZZI A PRONTI

•       Titolo (a) = 99,93

•       Titolo (b) = 94 * 1,0355^1 = 97,337

•       Titolo (c) = 93,195

I prezzi a scadenza dei titoli (a) e (c) sono sviluppati nei calcoli di DURATION e TIR

Non essendo disponibile un tasso di mercato per attualizzare o capitalizzare, è stato assunto il tasso cedolare.

 

DURATION

•       Titolo (a)

→ DURATION = 3 anni, essendo uno zero coupon bond è pari alla durata nominale

•       Titolo (c)

→ DURATION =(3,195*1,0355^-1*1+3,195*1,0355^-2*2+93,195*1,0355^-3*3)/(3,195*1,0355^-1+3,195*1,0355^-2+93,195*1,0355^-3) = 2,89 anni

dato che il titolo (c) è quotato alla pari abbiamo utilizzato il prezzo del titolo di confronto (a).

 

IMMUNIZZAZIONE PORTAFOGLIO

•       Titolo (a)

→ DURATION (T=1) = 1 anno, essendo uno zero coupon bond è pari alla durata nominale

•       Titolo (c)

→ DURATION (T=1) = (3,195*1,0355^-1*1)/(3,195*1,0355^-1) = 1 anno

•       Avendo entrambi i titoli duration pari ad 1, cioè coincide col momento T=1, il portafoglio può essere immunizzato con una composizione al 50 %, e cioè: Titolo (a) euro 1.000,00 e Titolo (c) euro 1.000,00

 

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